Kamis, 23 Juni 2011

modul sistem persamaan dan pertidaksamaan linear


I.            IDENTITAS
SATUAN PENDIDIKAN          : SMK N I PADANG
MATA PELAJARAN                : MATEMATIKA TEKNOLOGI
JUR/PROG KEAHLIAN          : BANGUNAN / TEKNIK KONSTRUKSI
BANGUNAN
KELAS/SEMESTER                 : X /1
JUMLAH PERTEMUAN         : 3 KALI
WAKTU                                      : 3 * 45 Menit
II.            STANDAR KOMPETENSI      : MEMECAHKAN MASALAH BERKAITAN
SISTEM PERSAMAAN DAN
PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN
KUADRAT.
III.         KOMPETENSI DASAR                       : MENENTUKAN HIMPUNAN
PENYELESAIAN PERSAMAAN DAN
PERTIDAKSAMAAN LINEAR.

BAB III

I.       SISTEM PERSAMAAN LINIER
Sebuah garis di dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh sebuah persamaan yang berbentuk :
                                   
Sebuah persamaan semacam ini dinamakan persamaan linier dalam variabel x dan variabel y, secara lebih umum, maka kita mendefinisikan sebuah persamaan linier dalam n variabel x1, x2, ……, xn sebagai sebuah persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
a1x1 + a2x2 + ….. + anxn = b

      dimanaa a1, a2, ………., an dan b adalah konstanta – konstanta riel

      contoh 1.
      Yang berikut ini adalah persamaan – persamaan linier :
     
Perhatikan bahwa persamaan linier tidak melibatkan sesuatu hasil kali atau akar variabel. Semua variabel hanya terdapat sampai dengan angka pertama dan tidak muncul sebagai argumen untuk fungsi trigonometrik, fungsi logaritmik, atau untuk fungsi eksponensial. Yang beikut ini bukanlah persamaan linier :           

Sebuah pemecahan (solution) persamaan linier a1x1 + a2x2 + …….+ anxn = b adalah sebuah urutan dari n bilangan s1, s2, ……, sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila kita mensubsitusikan x1 = s1, x2 = s2, ….., xn = sn. Himpunan semua pemecahan persamaan tersebut dinamakan himpunan pemecahannya.
a.      Persamaan Linier Dua Peubah
      Grafik persamaan linier dua peubah berbentuk garis lurus. Cara menggambarkan grafik ini dapat dilakukan dengan memilih titik-titik (minimal dua titik) yang teletak pada garis tersebut, kemudian menghubungkannya dengan sebuah garis lurus.
Contoh :
2x + 5y = 10
Penyelesaian :
Untuk menggambarkan garis dengan persamaan 2x + 5y = 10, terlebih dahulu kita tentukan titik-titik yang memenuhi persamaan tersebut. Biasanya, dipilih titik-titik yang merupakan titik potong garis dengan sumbu koordinat .
-          titik potong garis 2x + 5y = 10 dengan sumbu x diperoleh jika y = 0 sehingga x = 5. jadi, titik potongnya adalah  (5 , 0).
-          titik potong garis 2x + 5y = 10 dengan sumbu y diperoleh jika x = 0 sehingga y = 2. jadi, titik potongnya adalah  (0 , 2).
Hasil diatas dapat disajikan pada tabel :
x
y
(x,y)
0
2
(0,2)
5
0
(5,0)




b.      Sistem Persamaan Linier Dua Peubah
Sebuah sistem persamaan yang tidak memiliki pemecahan dikatakan tak konsistent (inconsistent). Jika ada setidak-tidaknya satu pemecahan , maka sistem persamaan tersebut dinamakan konsisten (consistent). Untuk melukiskan kemungkinan – kemungkinan yang dapat terjadi di dalam memecahkan sistem-sistem persamaan linier, tinjaulah sebuah sistem umum dari dua persamaan linier dalam bilangan – bilangan yang tidak diketahui x dan y
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
dimana a1, a2, b1, b2, c1, dan c2 konstanta real, a1 dan a2 adalah koefisien dari peubah x, b1 dan b2 adalah koefisien dari peubah y.
Cara menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah dapat digunakan metode subsitusi, eliminasi, determinan dan matrik

b.1 Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Peubah dengan Metode Subsitusi
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah dengan metode subsitusi, langkah – langkahnya sebagai berikut :

Langkah 1 :
Pilih salah satu persamaan, kemudian nyatakan salah satu peubah persamaan tersebut ke dalam peubah yang lain sehingga diperoleh persamaan baru.

Langkah 2 :
Subsitusikan persamaan yang diperoleh pada langkah 1 kepersamaan yang lainnya sehingga diperoleh sebuah persamaan linier satu peubah. Kemudian, selesaikan persamaan tersebut sehingga diperoleh salah satu peubah.

Langkah 3
Subsitusikan nilai peubah yang diperoleh pada langkah 2 ke persamana yang diperoleh pada langkah 1 sehingga diperoleh nilai peubah keduanya.

Contoh :
2x + 3y = 4
2x – y = 4

Penyelesaian  :
2x + 3y = 4 ………………………………………………………………(1)
2x – y = 4 ………………………………………………………………………. (2)

Langkah 1
Dari persamaan (2), diperoleh 2x – y = 4  Û  y = 2x – 4 ……………………….(3)
Langkah 2
Persamaan (3) disubsitusikan kepersamaan (1), diperoleh :
       2x + 3y = 4
Û    2x + 3(2x – 4) = 4
Û    2x + 6x – 12 = 4
Û    8x = 16
Û    x= 2 ………………………………………………………………………..(4)
Langkah 3
Persamaan ( 4) disubsitusikan ke persamaan (3), diperoleh
       y = 2x – 4
      Û y = 2(2) – 4
      Û y = 0
      Jadi penyelesaian sistem persamaan linier tersebut adalah x = 2 dan y = 0

      b.2 Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Peubah dengan Metode Eliminasi
      Untuk menyelesaikan istem persamaan linier dua peubah dengan metode eliminasi, langkah – langkahnya adalah :
      Langkah 1
      Eliminasikan (hilangkan) salah satu peubah, misalnya peubah x dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan suku – suku yang sama dari kedua persamaan tersebut sehingga diperoleh nilai peubah yang kedua (peubah y)
      Langkah 2
      Eliminasikan peubah yang kedua (peubah y) sehingga diperoleh nilai peubah x.
     
      Contoh :
Dengan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linier berikut :
2x + 4y = 6
3x + 2y = 1

Penyelesaian :
a.       Langkah 1
Mengeliminasikan peubah x untuk mendapatkan nilai y
2x + 4y = 6      3 ® 6x + 12y = 18
3x + 2y = 1      2 ® 6x + 4y   = 2        
                                             8y  = 16
                                               y  = 2
b.      Langkah 2
Mengeliminasikan peubah y untuk mendapatkan nilai x
2x + 4y = 6      1 ® 2x + 4y  = 6
3x + 2y = 1      2 ® 6x + 4y   = 2       
                                           -4x  = 4
                                               x  = -1           
Jadi himpuan penyelesaian sistem persamaan linier tersebut adalah {( -1, 2)}




b.3 Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Peubah dengan Menggabungkan Metode Eliminasi dan Subsitusi
langkah 1 :
Eliminasikan (hilangkan) salah satu peubah, misalnya x sehingga diperoleh nilai peubah yang kedua (peubah y)
Langkah 2 :
      Subsitusikan nilai peubah y yang diperoleh pada langkah 1 ke salah satu persamaan

      Contoh :
      2x + y = 5
      3x – 2y = 4
     
      Penyelesaian :
a.       Langkah 1 :
Mengeliminasi peubah x untuk mendapatkan nilai y
2x + y = 5       3 ®  6x + 3y  = 15
3x + 2y = 4      2 ® 6x -  4y   = 8      
                                            7 y  = 7
                                               y  = 1
Langkah 2 :
Menyubstitusikan nilai  1 pada salah satu persamaan (misalnya persamaan    pertama) diperoleh :  
2x + y = 5
Û 2x + 1 = 5
Û 2x = 4
Û x   = 2        




II.      PERTIDAKSAMAAN
A.  Pertidaksamaan Linear
Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang peubah bebasnya berbentuk linear. Bentuk umum pertidaksamaan linear adalah sebagai berikut:
a.   ax + b < 0,                                              c.  ax + b < 0, dan
b.   ax + b > 0,                                              d.  ax + b > 0,
dengan a ≠ 0, a, b adalah bilangan real.
Adapun penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah sebagai berikut.
a.      ax + b < 0 dan ax + b £ 0
Bentuk pertidaksamaan ax + b < 0 dapat diselesaikan dengan cara berikut.
ax + b < 0
Û ax < -b
Û
Dengan cara yang sama, penyelesaian pertidaksamaan ax + b = 0 adalah .
Jika digambarkan pada garis bilangan penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah sebagai berikut.
                                                                                         








 

                                                                                         
b.     ax + b > 0 dan ax + b 0
Bentuk pertidaksamaan ax + b > 0 dapat diselesaikan dengan cara berikut. ax + b > 0
Dengan cara yang sama, penyelesaian pertidaksamaan ax + b ≥ 0 adalah x ≥ 
Jika digambarkan pada garis bilangan, penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah sebagai berikut.









 


                                                                                         
Nilai-nilai   pada diagram garis bilangan di atas digambarkan dengan dua cara
sebagai berikut.
a.   Jika nilai tersebut termasuk dalam daerah penyelesaian, digambarkan sebagai lingkaran tidak berlubang (pepat) atau noktah (•).
b.   Jika nilai tersebut tidak termasuk dalam daerah penyelesaian, digambarkan sebagai lingkaran berlubang (o)

B.  Pertidaksamaan Kuadrat
Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang berderajat dua atau pangkat tertinggi peubahnya adalah dua. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut:
a.   ax2 + bx + c < 0,                                     c.  ax2 + bx + c ≤ 0, dan
b.   ax2 + bx + c > 0,                                     d. ax2 + bx + c ≠ 0,
dengan a    0, a, b, c
Î himpunan bilangan real.

1. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan x2 - 5x + 4 > 0.
Penyelesaian:
Sesuai dengan langkah-langkah yang telah diberikan di atas, penyelesaiannya adalah sebagai berikut.
Langkah 1: Pertidaksamaan sudah dalam bentuk umum pertidaksamaan kuadrat, yaitu x2 - 5x + 4 > 0.

Langkah 2: Menentukan pembuat nol atau harga nol dari persamaan
               x2-5x + 4 = 0                                                                     
<=> (x-l)(x-4) = 0
<=> x = 1 atau x = 4  Berarti, pembuat nol persamaan x2 - 5x + 4 = 0   adalah x = 1 atau x = 4.

Langkah 3: Membuat garis bilangan dan menempatkan pembuat nol yang diperoleh dari langkah 1 pada garis bilangan.

Pada diagram garis bilangan tersebut, pembuat nol digambarkan sebagai lingkaran berlubang (o) karena nilai-nilai tersebut tidak termasuk dalam daerah penyelesaian. Dengan demikian, garis bilangan itu terbagi menjadi tiga interval, yaitu x<l,l<x<4, dan x > 4.


 

1                          4
Langkah 4: Menentukan tanda + atau - pada garis bilangan.
Untuk menentukan tanda dari masing-masing interval, kita lakukan penyelidikan sebagai berikut. Kita pilih harga x yang bukan pembuat nol, misalnya untuk x = -1 sehingga diperoleh nilai
x2-5x + 4 = -l 2 -5(-l) + 4
= 1 +5 + 4= 10

Hal ini berarti bahwa daerah yang memuat x = -1 (pada interval x < l) bertanda positif (+). Tanda interval yang lain ditentukan berdasarkan tanda yang sudah diketahui dengan pedoman bahwa setiap pindah interval, tandanya berubah sehingga tanda pada masing-masing interval dapat digambarkan sebagai berikut.

  + + +           -----               + + +
 

              1                                                     4
langkah 5: menentukan penyelesaian pertidaksamaan yang diminta. Karena tanda yang diinginkan adalah tanda positif (x2 - 5x + 4 > 0) maka interval yang bertanda positif adalah penyelesaian yang diminta. Dari gambar di atas tampak bahwa interval yang bertanda positif adalah interval x < 1 dan x > 4 sehingga penyelesaian dari pertidaksamaan x2 - 5x + 4 > 0 adalah x < 1 atau x > 4.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x < 1 atau x > 4}.

C.  Pertidaksamaan Pecahan
Pertidaksamaan pecahan adalah pertidaksamaan yang peubahnya termuat dalam bentuk pecahan. Pertidaksamaan pecahan yang akan kita bahas di antaranya adalah sebagai berikut.
dengan a, b, c, d, e bilangan real, cx + d ≠ 0, dan a, c tidak boleh bersama-sama bernilai nol. Sebagai contoh, perhatikan pertidaksamaan pecahan berikut.
Contoh :
Penyelesaian :
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan pecahan dapat ditentukan sebagai berikut.

Untuk menggambarkan pertidaksamaan  pada garis bilangan dapat dilakukan dengan sebagaiberikut:
a) Untuk menyelesaikan kedua pertidaksamaan, diperoleh x < -3 dan x <  
   Keduanya dapat digambarkan pada garis bilangan :
x <
 
-3
 
                                                                                                                                                                                               
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
b). –x – 3 < 0 dan 2x + 5 > 0
     diperoleh : x > -3 dan x >
     keduanya dapat digambarkan :
x <
 
-3
 
                                                                                                           

Dari kedua gambar garis bilangan tersebut, dapat disimpulkan bahwa nilai x
yang memenuhi pertidaksamaan -x - 3 < 0 dan 2x + 5 > 0 adalah
x >
Jadi, dari a) dan b) dapat disimpulkan bahwa himpunan penyelesaian pertidaksamaan  adalah {x | x < -3 atau x > }
D. Pertidaksamaan Bentuk Akar
Langkah – langkah untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional :
1.      Jika ruas kanan tidak nol, pertidaksamaan itu diubah kebentuk pertidaksamaan ekivalennya sehingga ruas kanan menjadi nol.
2.      Ruas kiri disederhanakan dengan cara menfaktorkan baik pembilang maupun penyebutnya
3.      Nilai-nilai yang membuat tiap factor berharga nol ditentukan.
4.      Nilai-nilai faktor nol digambarkan pada garis bilangan terbagi menjadi beberapa interval
5.      Titik uji dipilih pada tiap interval dan tanda tiap interval diperiksa dengan memasukkan tiap titik uji kedalam pertidaksamaan pada langkah dua.
6.      Penyelesaian dari pertidaksamaan adalah interval yang tandanya sama dengan tanda pertidaksamaan rasional pada langkah dua.

Contoh soal :
Tentukan penyelesaian dari :


Harga nol tiap faktor
-x – 10 = 0 ,   x = -10
x + 1 = 0  ,  x = -1








 - - - -        + + + +           - - -
 





-10
 

-1
 

 




Tanda interval diperiksa dengan memasukkan titik uji ke persamaan
Titik uji dipilih pada x = -11,  x = -2,  x = 0
Untuk x = -11 ; < 0
Untuk x = -2   ; = 8 > 0
Untuk x = 0    ; = -10 < 0

Interval yang tandanya sama dengan tanda pertidaksamaan  adalah -10 < x < -1
Jadi HP = { x | -10 < x < -1}

E.    Pertidaksamaan Polinomial
Pertidaksamaan linear merupakan pertidaksamaan polinomial berderajat satu,sedangkan pertidaksamaan kuadrat merupakan pertidaksamaan polinomial berderajat dua.
Secara umum, untuk menyelesaikan pertidaksamaan polinomial dapat dilakukan langkah-langkah berikut.
Langkah 1:
Ubahlah pertidaksamaan itu sehingga ruas kanan hanya mengandung nilai nol. Langkah 2:
Tentukan pembuat nol pertidaksamaan polinomial tersebut dan nyatakan dalam bentuk faktornya.
Langkah 3: ,
Tulislah pembuat nol ruas kiri pertidaksamaan itu pada garis bilangan.

 Langkah 4:
Tentukan tanda positif atau negatif (+/-) pada setiap interval dengan menyubstitusikan salah satu nilai bilangan real ke pertidaksamaan tersebut. Untuk mempermudah dalam penentuan tanda ini, perhatikan hal-hal berikut.
a.   Substitusikan nilai nol ke pertidaksamaan tersebut. Tentukan tanda (+/-) pada garis bilangan yang memuat nilai nol dari hasil substitusi tersebut.
b.   Tentukan tanda (+/-) pada interval yang lain dengan cara mengubah tanda setiap ganti interval.
c.   Apabila terdapat faktor dari pertidaksamaan ruas kiri pada langkah 2 berpangkat genap, tanda ruas kiri dan kanan faktor tersebut adalah sama (tandai dengan "||"pada faktor tersebut).
Langkah 5:
Tentukan penyelesaiannya sesuai dengan permasalahan.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut. (x2 - 6x + 5)2(x2 + 3x - 28)(x + 8) ≥ 0
Penyelesaian:
Langkah 1 :
Ruas kanan pertidaksamaan sudah bernilai nol.
Langkah 2:
Ruas kiri pertidaksamaan dapat dinyatakan dalam bentuk faktor berikut ini.
(x2 - 6x + 5)2 (x2 + 3x - 28)(x + 8) ≥ 0 <=> ((x - 5)(x -l))2(x + 7)(x - 4)(x + 8) ≥ 0 <=> (x - 5)2(x - l)2 (x + 7)(x - 4)(x + 8) ≥ 0
Langkah 3:
Menuliskan pembuat nol ruas kiri pertidaksamaan pada garis bilangan.








   -8       -7         1       4        5
 
 




Langkah 4:
Menentukan tanda (+/-) pada setiap interval.






   -8      -7         1       4         5
 
 



Langkah 5:
Menentukan himpunan penyelesaian sesuai dengan permasalahan. Dengan memerhatikan garis bilangan pada langkah 4, daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut dapat dinyatakan berikut ini.








 -8       -7        1        4         5
 
 




Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan  (x2 - 6x + 5)2 (x2 + 3x - 28)(x + 8) ≥ 0 adalah  { x | x £ -8 atau -7 £ x < 1 atau  1 < x £ 4 }.
I.            IDENTITAS
SATUAN PENDIDIKAN          : SMK N I PADANG
MATA PELAJARAN                : MATEMATIKA TEKNOLOGI
JUR/PROG KEAHLIAN          : BANGUNAN / TEKNIK KONSTRUKSI
BANGUNAN
KELAS/SEMESTER                 : X /1
JUMLAH PERTEMUAN         : 3 KALI
WAKTU                                      : 3 * 45 Menit
II.            STANDAR KOMPETENSI      : MEMECAHKAN MASALAH BERKAITAN
SISTEM PERSAMAAN DAN
PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN
KUADRAT.
III.         KOMPETENSI DASAR                       : MENENTUKAN HIMPUNAN
PENYELESAIAN PERSAMAAN DAN
PERTIDAKSAMAAN LINEAR.

BAB III

I.       SISTEM PERSAMAAN LINIER
Sebuah garis di dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh sebuah persamaan yang berbentuk :
                                   
Sebuah persamaan semacam ini dinamakan persamaan linier dalam variabel x dan variabel y, secara lebih umum, maka kita mendefinisikan sebuah persamaan linier dalam n variabel x1, x2, ……, xn sebagai sebuah persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
a1x1 + a2x2 + ….. + anxn = b

      dimanaa a1, a2, ………., an dan b adalah konstanta – konstanta riel

      contoh 1.
      Yang berikut ini adalah persamaan – persamaan linier :
     
Perhatikan bahwa persamaan linier tidak melibatkan sesuatu hasil kali atau akar variabel. Semua variabel hanya terdapat sampai dengan angka pertama dan tidak muncul sebagai argumen untuk fungsi trigonometrik, fungsi logaritmik, atau untuk fungsi eksponensial. Yang beikut ini bukanlah persamaan linier :           

Sebuah pemecahan (solution) persamaan linier a1x1 + a2x2 + …….+ anxn = b adalah sebuah urutan dari n bilangan s1, s2, ……, sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila kita mensubsitusikan x1 = s1, x2 = s2, ….., xn = sn. Himpunan semua pemecahan persamaan tersebut dinamakan himpunan pemecahannya.
a.      Persamaan Linier Dua Peubah
      Grafik persamaan linier dua peubah berbentuk garis lurus. Cara menggambarkan grafik ini dapat dilakukan dengan memilih titik-titik (minimal dua titik) yang teletak pada garis tersebut, kemudian menghubungkannya dengan sebuah garis lurus.
Contoh :
2x + 5y = 10
Penyelesaian :
Untuk menggambarkan garis dengan persamaan 2x + 5y = 10, terlebih dahulu kita tentukan titik-titik yang memenuhi persamaan tersebut. Biasanya, dipilih titik-titik yang merupakan titik potong garis dengan sumbu koordinat .
-          titik potong garis 2x + 5y = 10 dengan sumbu x diperoleh jika y = 0 sehingga x = 5. jadi, titik potongnya adalah  (5 , 0).
-          titik potong garis 2x + 5y = 10 dengan sumbu y diperoleh jika x = 0 sehingga y = 2. jadi, titik potongnya adalah  (0 , 2).
Hasil diatas dapat disajikan pada tabel :
x
y
(x,y)
0
2
(0,2)
5
0
(5,0)




b.      Sistem Persamaan Linier Dua Peubah
Sebuah sistem persamaan yang tidak memiliki pemecahan dikatakan tak konsistent (inconsistent). Jika ada setidak-tidaknya satu pemecahan , maka sistem persamaan tersebut dinamakan konsisten (consistent). Untuk melukiskan kemungkinan – kemungkinan yang dapat terjadi di dalam memecahkan sistem-sistem persamaan linier, tinjaulah sebuah sistem umum dari dua persamaan linier dalam bilangan – bilangan yang tidak diketahui x dan y
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
dimana a1, a2, b1, b2, c1, dan c2 konstanta real, a1 dan a2 adalah koefisien dari peubah x, b1 dan b2 adalah koefisien dari peubah y.
Cara menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah dapat digunakan metode subsitusi, eliminasi, determinan dan matrik

b.1 Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Peubah dengan Metode Subsitusi
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah dengan metode subsitusi, langkah – langkahnya sebagai berikut :

Langkah 1 :
Pilih salah satu persamaan, kemudian nyatakan salah satu peubah persamaan tersebut ke dalam peubah yang lain sehingga diperoleh persamaan baru.

Langkah 2 :
Subsitusikan persamaan yang diperoleh pada langkah 1 kepersamaan yang lainnya sehingga diperoleh sebuah persamaan linier satu peubah. Kemudian, selesaikan persamaan tersebut sehingga diperoleh salah satu peubah.

Langkah 3
Subsitusikan nilai peubah yang diperoleh pada langkah 2 ke persamana yang diperoleh pada langkah 1 sehingga diperoleh nilai peubah keduanya.

Contoh :
2x + 3y = 4
2x – y = 4

Penyelesaian  :
2x + 3y = 4 ………………………………………………………………(1)
2x – y = 4 ………………………………………………………………………. (2)

Langkah 1
Dari persamaan (2), diperoleh 2x – y = 4  Û  y = 2x – 4 ……………………….(3)
Langkah 2
Persamaan (3) disubsitusikan kepersamaan (1), diperoleh :
       2x + 3y = 4
Û    2x + 3(2x – 4) = 4
Û    2x + 6x – 12 = 4
Û    8x = 16
Û    x= 2 ………………………………………………………………………..(4)
Langkah 3
Persamaan ( 4) disubsitusikan ke persamaan (3), diperoleh
       y = 2x – 4
      Û y = 2(2) – 4
      Û y = 0
      Jadi penyelesaian sistem persamaan linier tersebut adalah x = 2 dan y = 0

      b.2 Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Peubah dengan Metode Eliminasi
      Untuk menyelesaikan istem persamaan linier dua peubah dengan metode eliminasi, langkah – langkahnya adalah :
      Langkah 1
      Eliminasikan (hilangkan) salah satu peubah, misalnya peubah x dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan suku – suku yang sama dari kedua persamaan tersebut sehingga diperoleh nilai peubah yang kedua (peubah y)
      Langkah 2
      Eliminasikan peubah yang kedua (peubah y) sehingga diperoleh nilai peubah x.
     
      Contoh :
Dengan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linier berikut :
2x + 4y = 6
3x + 2y = 1

Penyelesaian :
a.       Langkah 1
Mengeliminasikan peubah x untuk mendapatkan nilai y
2x + 4y = 6      3 ® 6x + 12y = 18
3x + 2y = 1      2 ® 6x + 4y   = 2        
                                             8y  = 16
                                               y  = 2
b.      Langkah 2
Mengeliminasikan peubah y untuk mendapatkan nilai x
2x + 4y = 6      1 ® 2x + 4y  = 6
3x + 2y = 1      2 ® 6x + 4y   = 2       
                                           -4x  = 4
                                               x  = -1           
Jadi himpuan penyelesaian sistem persamaan linier tersebut adalah {( -1, 2)}




b.3 Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Peubah dengan Menggabungkan Metode Eliminasi dan Subsitusi
langkah 1 :
Eliminasikan (hilangkan) salah satu peubah, misalnya x sehingga diperoleh nilai peubah yang kedua (peubah y)
Langkah 2 :
      Subsitusikan nilai peubah y yang diperoleh pada langkah 1 ke salah satu persamaan

      Contoh :
      2x + y = 5
      3x – 2y = 4
     
      Penyelesaian :
a.       Langkah 1 :
Mengeliminasi peubah x untuk mendapatkan nilai y
2x + y = 5       3 ®  6x + 3y  = 15
3x + 2y = 4      2 ® 6x -  4y   = 8      
                                            7 y  = 7
                                               y  = 1
Langkah 2 :
Menyubstitusikan nilai  1 pada salah satu persamaan (misalnya persamaan    pertama) diperoleh :  
2x + y = 5
Û 2x + 1 = 5
Û 2x = 4
Û x   = 2        




II.      PERTIDAKSAMAAN
A.  Pertidaksamaan Linear
Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang peubah bebasnya berbentuk linear. Bentuk umum pertidaksamaan linear adalah sebagai berikut:
a.   ax + b < 0,                                              c.  ax + b < 0, dan
b.   ax + b > 0,                                              d.  ax + b > 0,
dengan a ≠ 0, a, b adalah bilangan real.
Adapun penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah sebagai berikut.
a.      ax + b < 0 dan ax + b £ 0
Bentuk pertidaksamaan ax + b < 0 dapat diselesaikan dengan cara berikut.
ax + b < 0
Û ax < -b
Û
Dengan cara yang sama, penyelesaian pertidaksamaan ax + b = 0 adalah .
Jika digambarkan pada garis bilangan penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah sebagai berikut.
                                                                                         








 

                                                                                         
b.     ax + b > 0 dan ax + b 0
Bentuk pertidaksamaan ax + b > 0 dapat diselesaikan dengan cara berikut. ax + b > 0
Dengan cara yang sama, penyelesaian pertidaksamaan ax + b ≥ 0 adalah x ≥ 
Jika digambarkan pada garis bilangan, penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah sebagai berikut.

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar